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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接EB的延长线交AC于点F,交⊙O于点D,连接AD,过点D作直线DN,使∠ADN=∠DBC.

(1)求证:直线DN是⊙O的切线;

(2)DF1,且BF3,求AD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)AD=.

【解析】

(1)根据垂径定理的推论即可得到ODAC,再根据∠ADN=∠DAC,即可判定ACDN,进而得到ODDN,据此可得直线DN是⊙O的切线.

(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠AED=∠EAD,即可得出DADE,再判定DAF∽△DBA,即可得到DA2DFDB,据此解答即可.

解: (1)证明:如图所示,连接OD

∵点EABC的内心,

∴∠ABD=∠CBD

ODBC

又∵∠ADN=∠DBC,∠DBC=∠DAC

∴∠ADN=∠DAC

ACDN

ODDN

又∵OD为⊙O半径,

∴直线DN是⊙O的切线;

(2)

∴∠DAF=∠DBA

又∵∠ADF=∠ADB(公共角)

∴△DAF∽△DBA

,即DA2DFDB

DF2BF3

DBDF+BF5

DA2DFDB10

DADE.

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