Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．

（1）求证：AC是⊙E的切线；

（2）若AF＝4，CG＝5，求⊙E的半径；

（3）若Rt△ABC的内切圆圆心为I，求⊙I的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙E的半径为20；（3）130π.

【解析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；

（2）如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，列比例式代入r可得结论；

（3）如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．

（1）∵ CD·BC＝AC·CE，

∴＝

∵∠DCE＝∠ACB．

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC＝∠A＝90° ，

∴ED⊥AC

又∵点D在⊙O上，

∴AC与⊙E相切于点D ．

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，

∴BH＝FH．

在四边形AHED中，∠AHE＝∠A＝∠ADE＝90°，

∴四边形AHED为矩形，

∴ED＝HA，ED∥AB，

∴∠B＝∠DEC．

设⊙O的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，

∴BH＝FH＝r－4，EC＝r＋5．

在△BHE和△EDC中，

∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC，

∴△BHE∽△EDC．

∴＝，即＝．

∴r＝20．即⊙E的半径为20.

（3）如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，

由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，

BC=2r+5=2×20+5=45，

∴AC= =27，

∵I是Rt△ABC的内心，

∴IM=(AB+ACBC) ÷2=(36+2745) ÷2=9，

∴AH=IM=9，

∴BH=BM=36-9=27，

∴EM=27-20=7，

在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= ， .

∴⊙I的面积=π×=130π.