Question

【题目】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上．

（1）∠ACB的大小为　 　；

（2）在如图所示的网格中以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的△AB'C'，保留作图痕迹，不要求证明；

（3）点P是BC边上任意一点，在（2）的旋转过程中，点P的对应点为P'，当线段CP'最短时，CP'的长度为　 　．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理的逆定理即可解决问题．

（2）如图，延长AC到格点B′，使得AB′＝AB＝，取格点E，F，G，H，连接EG，FH交于点Q，取格点E′，F′．G′，H′，连接E′G′，F′H′交于点Q′，作直线AQ′，直线B′Q交于点C′，△AB′C′即为所求．

（3）通过将点B以A为中心，取旋转角等于∠BAC旋转，找到线段BC旋转后所得直线FG，只需找到点C到FG的垂足即为P′．

（1）由网格图可知

，，，

∵AC2+BC2＝AB2

∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．

∴∠ACB＝90°

故答案为：90°．

（2）如图，延长AC到格点B′，使得AB′＝AB＝，取格点E，F，G，H，连接EG，FH交于点Q，取格点E′，F′．G′，H′，连接E′G′，F′H′交于点Q′，作直线AQ′，直线B′Q交于点C′，△AB′C′即为所求．

（3）作图过程如下：

取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求

证明：连CF

∵AC，CF为正方形网格对角线

∴A、C、F共线

∴ ,

由图形可知： ， ，

∵ ， ，

∴，∵∠GCF＝∠ACB，

∴△ACB∽△GCF

∴∠GFC＝∠B

∵

∴当BC边绕点A逆时针旋转∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．

由作图可知T为AB中点

∴∠TCA＝∠TAC

∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°

∴CP′⊥GF

此时，CP′最短

故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求．