Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴为直线，且，顶点为．

（1）求的值；

（2）求点的坐标（用含的式子表示）；

（3）已知点，，若函数的图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）由对称轴公式列出a的方程解出a便可；

（2）把x＝k代入抛物线的解析式，便可求得顶点的纵坐标，进而得顶点P的坐标；

（3）分五种情况：k＞1；k＝1；0＜k＜1；k＝0；k＜0，根据二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，分别求k的取值范围．

解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线x＝k，

∴

∴a＝1；

（2）把a＝1代入得，y＝x22kx＋k2＋k，

当x＝k时，y＝k22k2＋k2＋k＝k，

∴顶点P（k，k）；

（3）∵函数＝x22kx＋k2＋k＝（xk）2＋k，

∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为x＝k，顶点为（k，k），

∵点A（0，1），B（2，1），

∴①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与直线AB没有公共点，则函数（k1≤x≤k＋1）的图象与线段AB没有公共点；

②当k＝1时，顶点（1，1）在线段AB上，即函数（k1≤x≤k＋1）的图象与线段AB恰有一个公共点；

③当k＜0时，则x＝k＋1或k1时，y＝1＋k＜1，函数（k1≤x≤k＋1）的图象在线段AB下方，没有公共点；

④当k＝0时，函数，与线段AB恰有一个公共点（1，1）；

⑤当0＜k＜1时，若函数图象过A（0，1）时，k2＋k＝1，解得k＝

＜0（舍去），或k＝，

∵0＜＜1，

∴根据抛物线的对称性知，当≤k＜1时，函数（k1≤x≤k＋1）的图象与线段AB有两个公共点，当0＜k＜时，函数（k1≤x≤k＋1）的图象与线段AB恰有一个公共点；

综上所述：若函数（k1≤x≤k＋1）的图象与线段AB恰有一个公共点，则0≤k＜或k＝1