Question

【题目】已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，E为BC边中点．

（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）．

（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线；

（3）若AC＝5，DE＝，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）根据要求作图即可得；

（2）连结OD，CD，证DE＝EC＝BE得∠1＝∠2，再证∠3＝∠4得∠ODE＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝∠ACB＝90°，据此可得OD⊥DE，从而得证；

（3）证Rt△BDC∽Rt△BCA得＝，代入计算可得．

解：（1）如图1，

（2）证明：如图2，连结OD，CD，

∵AC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∵E为BC边中点，

∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，

∴DE＝EC＝BE，

∴∠1＝∠2，

∵OC＝OD，

∴∠3＝∠4，

∴∠ODE＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（3）∵E为BC边中点，

∴BC＝2DE＝，

∵AC＝5，

∴AB＝，

∵∠DBC＝∠CBA，

∴Rt△BDC∽Rt△BCA，

∴＝，即＝，

∴BD＝．