Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）当a=1时，抛物线顶点D的坐标为________，AB=_________；

（2）AB的长是否与a有关？说明你的理由；

（3）若将抛物线（）沿y轴折叠，得到另一抛物线，其顶点为D，如图②．连接CD，CD和DD．

①若△CDD为等边三角形时，则a=______；

②若△CDD为等腰直角三角形时，则a=______．

Answer 1

【答案】（1）(1，－4)，4；（2）AB的长与a无关，见解析；（3）①； ② 1

【解析】

（1）将a=1代入解析式，并将解析式变形为顶点式，得到顶点坐标；另y=0得到点A、B的坐标；

（2）A、B是抛物线与x轴的交点，先求解出A、B两点的坐标，根据坐标求解距离，看计算得出的结果中是否含有字母a；

（3）①求解出点C、D、D的坐标(用a表示)，利用等边三角形三边相等的性质求解a；

②同上，先得出坐标点，利用勾股股定理的逆定理列写等式求解a

（1）将a=1代入解析式得：

变形为顶点式为：

∴顶点坐标为：（1，－4）

另y=0得：

解得：x=－1或x=3

设点A在点B的左侧

∴A(－1，0)，B(3，0)

∴AB=4

（2）AB的长与a无关

理由是：当y=0时，

．

解得，．

∴A（－1，0），B（3，0）．

∴AB=3－（－1）= 4．

∴AB的长与a无关

（3）①抛物线

点C为与y轴的交点，即x=0

得：y=-3a，∴C(0，－3a)

将抛物线变形为顶点式为：

故顶点D(1，－4a)

∵D与点D关于y轴对称

∴D(－1，4a)

∴DD=2，CD=

∵△CDD是等边三角形

∴DD=CD，即2=

解得：a=

②∵CD=CD，∴△CDD肯定是等腰三角形

∵△CDD是等腰直角三角形

∴，即：

解得：a=1