【题目】如图,已知AB//CD,分别探究下列三个图形中∠APC和∠PAB,∠PCD的关系.
结论:(1)__________________________
(2)__________________________
(3)__________________________
【答案】(1)∠A+∠P+∠C=360°;(2)∠APC=∠A+∠C;(3)∠C=∠A+∠P
【解析】
(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,再根据两直线平行同旁内角互补即可解答;
(2)过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥PF,再根据两直线内错角相等即可解答;
(3)根据AB∥CD,可得出∠PEB=∠PCD,再根据三角形外角的性质进行解答;
解:(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,
∴∠1+∠PAB=180°,
∠2+∠PCD=180°,
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°.
故填:∠A+∠APC+∠C=360°;
(2)过点P作直线PF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥PF∥CD,
∴∠PAB=∠1,∠PCD=∠2,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD.
故填:∠APC=∠A+∠C;
(3)∵AB∥CD,
∴∠1=∠C,
∵∠1=∠A+∠P,
∴∠C=∠A+∠P.
故填:∠C=∠A+∠P.
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【题目】如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.
(1)AE与FC会平行吗?说明理由;
(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?
(3)BC平分∠DBE吗?为什么.
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【题目】直线、
之间有一个直角三角形
,其中
,
.
(1)如图,点在直线
上,
、
在直线
上,若
,
.试说明:
;
(2)将三角形如图放置,直线
,点
、
分别在直线
、
上,且
平分
.求
的度数;(用
的代数式表示)
(3)在(2)的前提下,直线平分
交直线
于
,如图.在
取不同数值时,
的大小是否发生变化?若不变求其值,若变化请求出变化的范围.
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【题目】已知:中,
,
,点
为
内一点,连接
,
,
,过点
作
,交
的延长线于点
.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,点为
的中点,分别连接
,
,求
的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,点为
上一点,连接
,点
为
的中点,连接
,过点
作
,交
的延长线于点
,若
,
的面积为30,
,求线段
的长.
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【题目】问题情境:如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);
特例探究:如图②,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC, CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;
归纳证明:如图③,点BC在∠MAN的边AM、AN上,点EF在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC, ∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
拓展应用:如图④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 .(12分)
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠DAE=67.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为( )
A. 1B. C. 4-2
D. 3
-4
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形AOBC的顶点C的坐标是(2,4),动点P从点A出发,沿线段AO向终点O运动,同时动点Q从点B出发,沿线段BC向终点C运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,设运动时间为t秒,过点P作PE⊥AO交AB于点E.
(1)求直线AB的解析式;
(2)在动点P、Q运动的过程中,以B、Q、E为顶点的三角形是直角三角形,直按写出t的值;
(3)设△PEQ的面积为S,求S与时间t的函数关系,并指出自变量t的取值范围.
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【题目】阅读材料:若,求m,n的值.
解:,
.
,
,
,
,
,
,
.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知:,求
的值;
(2)已知:的三边长a,b,c都是正整数,且满足:
,求
的最大边c的值;
(3)已知:,
,直接写出a的值.
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