【题目】如图,AB是半圆O的直径,半径OC⊥AB,OB=4,D是OB的中点,点E是弧BC上的动点,连接AE,DE.
(1)当点E是弧BC的中点时,求△ADE的面积;
(2)若 ,求AE的长;
(3)点F是半径OC上一动点,设点E到直线OC的距离为m,当△DEF是等腰直角三角形时,求m的值.
【答案】(1);(2);(3) ,,.
【解析】
(1)作EH⊥AB,连接OE,EB,设DH=a,则HB=2﹣a,OH=2+a,则EH=OH=2+a,根据Rt△AEB中,EH2=AHBH,即可求出a的值,即可求出S△ADE的值;
(2)作DF⊥AE,垂足为F,连接BE,设EF=2x,DF=3x,根据DF∥BE故,得出AF=6x,再利用Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2,即可求出x,进而求出AE的长;
(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论,分别求出m的值.
解:(1)如图,作EH⊥AB,连接OE,EB,
设DH=a,则HB=2﹣a,OH=2+a,
∵点E是弧BC中点,
∴∠COE=∠EOH=45°,
∴EH=OH=2+a,
在Rt△AEB中,EH2=AHBH,
(2+a)2=(6+a)(2﹣a),
解得a=,
∴a=,
EH=,
S△ADE=;
(2)如图,作DF⊥AE,垂足为F,连接BE
设EF=2x,DF=3x
∵DF∥BE
∴
∴=3
∴AF=6x
在Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2
(6x)2+(3x)2=(6)2
解得x=
AE
(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时,如图
设DH=a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°,∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH,
∴∠DFO=∠EDH
∴△ODF≌△HED
∴OD=EH=2
在Rt△ABE中,EH2=AHBH
(2)2=(6+a)(2﹣a)
解得a=±
m=
当点E为等腰直角三角形直角顶点时,如图
同理得△EFG≌△DEH
设DH=a,则GE=a,EH=FG=2+a
在Rt△ABE中,EH2=AHBH
(2+a)2=(6+a)(2﹣a)
解得a=
∴m=
当点F为等腰直角三角形直角顶点时,如图
同理得△EFM≌△FDO
设OF=a,则ME=a,MF=OD=2
∴EH=a+2
在Rt△ABE中,EH2=AHBH
(a+2)2=(4+a)(4﹣a)
解得a=±
m=
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连结BD并延长与CE交于点E.
(1)求证:△ABD∽△CED.
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
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【题目】如图,平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中,已知A(-2,0),B(2,0),D(0,3),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C.
(1)求此反比例函数的解析式;
(2)问将平行四边形ABCD向上平移多少个单位,能使点B落在双曲线上?
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是(3,0),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a﹣2b+c>0;④当y>0时,﹣1<x<3;⑤b<c.其中正确的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.
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【题目】2019年,我省中考体育分值增加到55分,其中女生必考项目为八百米跑,我校现抽取九年级部分女生进行八百米测试成绩如下:
成绩 | 3′40″及以下 | 3′41~4′ | 4′01″~4′20′ | 4′21″~4′40″ | 4′41″及以上 |
等级 | A | B | C | D | E |
百分比 | 10% | 25% | m | 20% | n |
(1)求样本容量及表格中的m和n的值
(2)求扇形统计图中A等级所对的圆心角度数,并补全统计图.
(3)我校9年级共有女生500人.若女生八百米成绩的达标成绩为4分,我校九年级女生八百米成绩达标的人数有多少?
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【题目】如图1,在△ABC中,点P为边AB所在直线上一点,连结CP,M为线段CP的中点,若满足∠ACP=∠MBA,则称点P为△ABC的“好点”.
(1)如图2,当∠ABC=90°时,命题“线段AB上不存在“好点”为 (填“真”或“假”)命题,并说明理由;
(2)如图3,P是△ABC的BA延长线的一个 “好点”,若PC=4,PB=5,求AP的值;
(3)如图4,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,点P是△ABC的“好点”,若AC=4,AB=5,求AP的值.
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【题目】(本小题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交于点H,连接BD、FH.
(1)求证:△ABC≌△EBF;
(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.
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