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【题目】如图1,在ABC中,点P为边AB所在直线上一点,连结CPM为线段CP的中点,若满足ACP=MBA,则称点PABC好点”.

(1)如图2,当ABC=90°时,命题线段AB上不存在好点 (填)命题,并说明理由;

(2)如图3,PABCBA延长线的一个好点,若PC=4,PB=5,求AP的值;

(3)如图4,在Rt△ABC中,CAB=90°,点PABC好点,若AC=4,AB=5,AP的值.

【答案】(1)真;(2);(3).

【解析】

(1)先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知MP=MB,从而∠MPB=MBP,然后根据三角形外角的性质说明即可;

(2)先证明PAC∽△PMB,然后根据相似三角形的性质求解即可;

(3)分三种情况求解:P为线段AB上的“好点”, P为线段AB延长线上的“好点”, P为线段BA延长线上的“好点”.

(1) .

理由如下:如图,当∠ABC=90°时,MPC中点,BM=PM

则∠MPB=∠MBP>ACP

所以在线段AB上不存在“好点”;

(2)∵PBA延长线上一个“好点”;

∴∠ACP=MBP

∴△PAC∽△PMB

MPC中点,

MP=2;

.

(3)第一种情况,P为线段AB上的“好点”,则∠ACP=MBA,找AP中点D,连结MD

MCP中点;

MD为△CPA中位线;

MD=2,MD//CA

∴∠DMP=ACP=MBA

∴△DMP∽△DBM

DM2=DP·DB4= DP·(5DP);

解得DP=1,DP=4(不在AB边上,舍去;)

AP=2

第二种情况(1),P为线段AB延长线上的“好点”,则∠ACP=MBA,找AP中点D,此时,D在线段AB上,如图,连结MD

MCP中点;

MD为△CPA中位线;

MD=2,MD//CA

∴∠DMP=ACP=MBA

∴△DMP∽△DBM

DM2=DP·DB4= DP·(5DA= DP·(5DP);

解得DP=1(不在AB延长线上,舍去),DP=4

AP=8;

第二种情况(2),P为线段AB延长线上的“好点”,找AP中点D,此时,DAB延长线上,如图,连结MD

此时,∠MBA>MDB>∠DMP=ACP,则这种情况不存在,舍去;

第三种情况,P为线段BA延长线上的“好点”,则∠ACP=MBA

∴△PAC∽△PMB

BM垂直平分PCBC=BP= ;

∴综上所述,

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