【题目】已知正方形ABCD的边长为2,中心为M,⊙O的半径为r,圆心O在射线BD上运动,⊙O与边CD仅有一个公共点E.
(1)如图1,若圆心O在线段MD上,点M在⊙O上,OM=DE,判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,⊙O与边AD交于点F,连接MF,过点M作MF的垂线与边CD交于点G,若,设点O与点M之间的距离为,EG=,当时,求的函数解析式.
【答案】(1)相切,证明详见解析;(2).
【解析】
(1)过O作OF⊥AD于F,连接OE,可证△ODF≌△ODE,可得OF=OE,根据相切判定即可得出:AD与相切;
(2)连接MC,可证,可得DF=CG,过点E作EP⊥BD于P,过点F作FH⊥BD于H设DP=a,DH=b,由于△DHF与△DPE都是等腰直角三角形,设EP=DP=a,FH=DH=b,利用勾股定理:可列出方程组解得a=b,可得 , .由于 可得,由 可得OD=a, 由OD=OM-DM,可得, 代入2DF+y=2可得,整理得y与x的函数解析式,由DF≤1, EG≥0,可得x的取值范围,即可求解问题.
解:(1)直线AD与⊙O相切,理由如下:
过O作OF⊥AD于F,连接OE
∴∠OFD=90°
在正方形ABCD中,BD平分∠ADE,∠ADE=90°
∴∠FDO=∠EDO=45°
∵与CD仅有一个公共点E
∴CD与相切
∴OE⊥DC,OE为半径
∴∠OED=90°
又∵OD=OD
∴△ODF≌△ODE
∴OF=OE
∵OF⊥AD、OF=OE
∴AD与相切
(2)连接MC
在正方形ABCD中,∠BCD=90°,∠ADB =45°
∵∠BCD=90°,M为正方形的中心
∴MC=MD=,∠ADB=∠DCM=45°
∵FM⊥MG,即∠FMG=90°
且在正方形ABCD中,∠DMC=90°
∴∠FMD+∠DMG=∠DMG+∠CMG
∴∠FMD=∠CMG
∴
∴DF=CG
过点E作EP⊥BD于P,过点F作FH⊥BD于H
设DP=a,DH=b
∵∠FDM=∠EDM=45°
∴△DHF与△DPE都是等腰直角三角形
∴EP=DP=a,FH=DH=b
∵ ,且由(1)得
∴点O在正方形ABCD外
∴OP=OD+DP,OH=OD+DH
在Rt△OPE与Rt△OHF中
得:(a-b)(OD+a+b)=0
∴a-b=0或OD+a+b=0
∵OD+a+b>0
∴a-b=0
∴a=b
即点P与点H重合,也即EF⊥BD,垂足为P(或H)
∵DP=a,DH=b
∵在Rt△DPE中,
在Rt△DHF中,
∴DF=DE
∵CD=DE+EG+CG=2,即2DF+EG=2
∴2DF+y=2
∵在Rt△DPF中, ,且
∴
在Rt△OPE与Rt△OHF中
∴
∴OD+a=2a
∴OD=a
又因为 OD=OM-DM,即
∴
又因为 2DF+y=2
∴
∴
∴
∵DF≤1,且2DF+EG=2
∴EG≥0,即y≥0
∴
∴
∴y与x的函数解析式为
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【题目】如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.
(1)求∠PCQ的度数;
(2)当AB=4,AP=时,求PQ的大小;
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A,C重合),求证:2PB2=PA2+PC2
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【题目】某日6时至10时,某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示(图1、图2中的图象分别是线段和抛物线,其中点P是抛物线的顶点).在这段时间内,出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____ ,此时每千克的收益是_________
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【题目】某商城销售一种进价为10元1件的饰品,经调查发现,该饰品的销售量(件)与销售单价(元)满足函数,设销售这种饰品每天的利润为(元).
(1)求与之间的函数表达式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商城获利最大?最大利润为多少?
(3)在确保顾客得到优惠的前提下,该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元,该商城应将销售单价定为多少?
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【题目】某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道.甲、乙两人到该景区游玩,两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票.
(1)甲选择A检票通道的概率是 ;
(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,给出如下定义:若点在图形上,点在图形上,如果两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形的“近距离”,记为.特别地,当图形与图形有公共点时,.
已知,,,
(1)点,点 ,点,线段 ;
(2)⊙半径为,
①当时,求⊙与线段的“近距离”⊙,线段;
②若⊙,,则 .
(3)为轴上一点,⊙的半径为1,点关于轴的对称点为点,⊙与的“近距离”⊙,,请直接写出圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】如图,二次函数y=ax2﹣x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣4,0).
(1)求抛物线与直线AC的函数解析式;
(2)若点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,四边形OCDA的面积为S,求S关于m的函数关系;
(3)若点E为抛物线上任意一点,点F为x轴上任意一点,当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E的坐标.
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