Question

如果一个等腰三角形两腰上的中线互相垂直，其中底边为4，那么这个三角形的面积是

 

．

Answer 1

考点：三角形的重心,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：BE和CD为等腰三角形ABC腰上的中线，根据等腰三角形的性质得BE=CD，根据重心的定义得点O为△ABC的重心，于是根据重心的性质得到OB=

2

3

BE，OC=

2

3

CD，得到OB=OC，在判断△OBC为等腰直角三角形，则可计算出OB=OC=

2

2

BC=2

2

，接着可计算出S_△OBC=4，根据三角形面积公式，利用BE=

3

2

BO得到S_△BCE=

3

2

S_△OBC=6，然后利用AE=CE得到S_△ABC=2S_△BCE=12．

解答：解：∵BE和CD为等腰三角形ABC腰上的中线，
∴BE=CD，点O为△ABC的重心，
∴OB=

2

3

BE，OC=

2

3

CD，
∴OB=OC，
∵BE⊥CD，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=OC=

2

2

BC=

2

2

•4=2

2

，
∴S_△OBC=

1

2

•2

2

•2

2

=4，
∴S_△BCE=

3

2

S_△OBC=6，
∵AE=CE，
∴S_△ABC=2S_△BCE=12．
故答案为12．

点评：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形的性质．