Question

如图，已知动点A（a，b）在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，连接BC，过点B作BC的垂线交反比例函数图象于点D，连接CD，当点A的横坐标a由小变大时，△BCD的面积变化情况时（　　）

• A、由小变大
• B、由大变小
• C、一直不变
• D、先增大后减少

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：计算题

分析：作DH⊥x轴于H，如图，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到四边形ABOC为矩形，S_矩形ABOC=ab=4，再证明Rt△OBC∽Rt△HDB，得到

OB

DH

=

OC

BH

，设DH=t，则BH=

b

a

t，得到D点坐标为（a+

b

a

t，t），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到（a+

b

a

t）•t=4，然后利用S_△BCD=S_梯形DHOC-S_△BOC-S_△BHD进行计算得到△BCD的面积为4．

解答：解：作DH⊥x轴于H，如图，
∵AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴四边形ABOC为矩形，S_矩形ABOC=ab=4，
∵∠CBD=90°，
∴∠OBC+∠HBD=90°，
而∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠HBD，
∴Rt△OBC∽Rt△HDB，
∴

OB

DH

=

OC

BH

，
设DH=t，则

a

t

=

b

BH

，
∴BH=

b

a

t，
∴D点坐标为（a+

b

a

t，t）
∴（a+

b

a

t）•t=4，
∵S_△BCD=S_梯形DHOC-S_△BOC-S_△BHD
=

1

2

（t+b）•（a+

b

a

t）-

1

2

•t•

b

a

t
=

1

2

t•（a+

b

a

t）+

1

2

b（a+

b

a

t）-

1

2

•

b

a

t²
=

1

2

t•（a+

b

a

t）+

1

2

ab+

1

2

•

b

a

t²-

1

2

•

b

a

t²
=

1

2

×4+

1

2

×4
=4．
即△BCD的面积为定值．
故选C．

点评：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．