Question

【题目】如图，二次函数y1＝x2+bx+c与y2＝x2+cx+b（b＜c）的图象相交于点A，分别与y轴相交于点C，B，连接AB、AC．

（1）过点（1，0）作直线l平行于y轴，判断点A与直线l的位置关系，并说明理由．

（2）当A、C两点是二次函数y1＝x2+bx+c图象上的对称点时，求b的值．

（3）当△ABC是等边三角形时，求点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线l过点A；（2）b＝﹣1；（3）B（0，﹣）．

【解析】

（1）联立、并解得：，故点，又因为l：，故可判定点在直线l上；

（2）先写出、C两点的坐标，因为、C两点是二次函数图象上的对称点，故点A、C的纵坐标相同，可以据此列出方程，求解即可；

（3）先根据解析式写出 A、B、C的坐标，过等边三角形的点A作AH⊥BC，得到AH=1，根据三线合一得到H是BC中点，将H的坐标、BH的长度用b、c表示，可以运用三角函数表示BH与OA的关系，同时A、H的纵坐标相同，就建立了关于b、c的两个方程，解出来代入B点坐标即可.

解：（1）联立y1、y2并解得：x＝1，y＝1+b+c，

∴点A（1，1+b+c），

∴直线l：过点A；

（2）由题意得：点B（0，b）、C（0，c），

∵A、C两点是二次函数y1＝x2+bx+c图象上的对称点，故点A、C的纵坐标相同，

即：1+b+c＝c，

解得：b＝﹣1；

（3）如下图所示，过等边三角形的点A(1,1+b+c)作AH⊥BC，

∴H是B（0，b）、C（0，c）中点，则点，且，

∴，,

又∵,，
∴，

又∵，
解得：，
故点