Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．

（1）CD的长是_____；

（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是_____．

Answer 1

【答案】2 5+

【解析】

（1）延长DA，CB交于点H，由“ASA”可证≌，可得，由平行得相似，依据相似的性质即可求解；

（2）先证明A，D，C，E四点共圆，因为F是AC中点，依据垂径定理，得到DF是AC的中垂线，依据线段的垂直平分线的性质可求得AD的长度，作于H，可证四边形ABCH是矩形，依据矩形的性质，结合线段长度，可得是的中垂线，由此可得AC的长度，在三角形ABC中，依据勾股定理可求得BC的长度，只需把各边相加即可得到四边形ABCD的周长.

解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H，

∵EA平分∠BED，

∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，

∴△ADE≌△AHE（ASA）

∴AH＝AD，

∵∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴AB∥CD，

∴△ABH∽△DCH,

∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，

∴CD＝2，

（2）如图2中，作AH⊥CD于H，

∵∠DAE＝∠DCE＝90°，

∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点，

又∵AF＝CF，

∴DE⊥AC，

∴DA＝DC，

∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，

∴四边形ABCH是矩形，

∴CH＝AB＝1，

∵CD＝2，

∴CH＝HD＝1，

又∵AH⊥CD，

∴AD＝AC，

∴AD＝CD＝AC＝2，

∴，

四边形ABCD的周长为．

故答案为：（1）2；（2）．