Question

【题目】如图1，抛物线经过、两点，与x轴交于另一点B．

求抛物线的解析式；

已知点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

如图2，若抛物线的对称轴为抛物线顶点与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点D关于直线BC对称的点的坐标为；（3）存在，点N坐标为或或

【解析】

根据抛物线经过、两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，得出解析式；

把点D坐标代入抛物线的解析式中求出m的值，然后得出是等腰直角三角形，然后依据平行的性质得出答案；

首先求出EF的长，设，则，利用平行四边形对边平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

由题意，将、两点代入抛物线解析式，

得，

解得，

抛物线的解析式：；

点在第一象限的抛物线上，

把D的坐标代入中的解析式得，

或舍，

，

，

，令，

解得或，

，

，

是等腰直角三角形，

，

设点D关于直线BC的对称点为点P，

，

，且，

，

点在y轴上，且，

，

，

即点D关于直线BC对称的点的坐标为；

存在；

∵抛物线，

∴抛物线的顶点坐标，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

把，代入解析式得，

解得，b=4，k=-1，

所以，直线BC的解析式为；

当时，，

∴，

，

如图2，过点M作，交直线BC于M，

设，则，

，

当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，

，

由时，解得，不合题意，舍去

当时，，

，

当时，解得，

当时，，

，

当时，，

，

综上所述，点N坐标为或或