Question

6．已知，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行操作：
如图1在线段AD上任意取一点E，沿EB、EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；如图2，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
（1）通过操作，最后拼成的四边形为平行四边形．
（2）拼成的这个四边形的周长的最小值为20cm，最大值为12+$4\sqrt{13}$cm．

Answer 1

分析 （1）首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，根据三角形中位线性质定理即可证明；
（2）由三角形中位线的性质可以得出BC=6为定值，进而就有四边形的周长取决于MN的大小，在矩形中探究MN的不同位置关系，当点E在点A或点D时就可以得出MN的最大值，由平行线间垂线段最短就可以得到最小值，从而问题解决

解答 解：（1）画出第三步剪拼之后的四边形M₁N₁N₂M₂的示意图，如答图1所示．
图中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四边形M₁N₁N₂M₂是一个平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2所示，是剪拼之前的完整示意图．
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半．
∵M是线段GH上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而当E点在A点或D点时，MN的最大值等于矩形PQCB的对角线的长度，即
PC=$\sqrt{P{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$2\sqrt{13}$．
∴四边形M₁N₁N₂M₂周长的最小值为：12+2×4=20；
四边形M₁N₁N₂M₂周长的最大值为：12+2×$2\sqrt{13}$=12+$4\sqrt{13}$．
故答案为：20；（12+$4\sqrt{13}$）．

点评 此题主要考查了图形的剪拼以及考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．