Question

如图，△ABC内接于⊙O，CB=a，CA=b，∠A-∠B=90°，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：计算题

分析：作直径AE，连接BE，如图，根据圆周角定理得∠ACE=90°，∠AEC=∠ABC，易得∠ABC+∠CAE=90°，加上∠CAB-∠ABC=90°，则∠CAB+∠CAE=180°，所以∠DAC=∠CAE，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得∠DAC=∠BEC，∠CAE=∠CBE，所以∠CBE=∠CEB，则CE=CB=a，然后在Rt△ACE中根据勾股定理计算出AE，即可得到⊙O的半径．

解答：解：作直径AE，连接BE，如图，∠DAC为△ABC的外角，
∵AE为直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC+∠CAE=90°，
∵∠CAB-∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠CAE=180°，
而∠CAB+∠CAD=180°，
∴∠DAC=∠CAE，
∵∠DAC=∠BEC，∠CAE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=CB=a，
在Rt△ACE中，∵AC=b，CE=a，
∴AE=

AE2+AC2

=

a2+b2

，
∴⊙O的半径为

a2+b2

2

．
故答案为

a2+b2

2

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．