Question

10．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落住点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，DN=2，求MN的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交MN于点O，根据轴对称的性质可得NA=NC，MA=MC，再根据∠ANM=∠AMN，可得AN=AM，进而得到NC=MC；
（2）过点N作NH⊥BC于点H，根据△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，DN=2，即可得出MC=3ND=6，CH=DN=2，再根据勾股定理，求得Rt△CHN中，NH=$\sqrt{C{N}^{2}-C{H}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，即可得到Rt△MNH中，MN=$\sqrt{N{H}^{2}+M{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如图，连接AC，交MN于点O，则MN⊥AC，且MN平分AC，
∴NA=NC，MA=MC，
由折叠可得∠AMN=∠CMN，
由AN∥CM可得∠ANM=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AN=AM，
∴CM=CN；

（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，DN=2，
∴MC=3ND=6，CH=DN=2，
∴MH=4，而CN=CM=6，
∴Rt△CHN中，NH=$\sqrt{C{N}^{2}-C{H}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴Rt△MNH中，MN=$\sqrt{N{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{32+16}$=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及平行线的性质的运用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造直角三角形，运用勾股定理进行计算求解．