Question

13．如图，在△ABE中，AE=AB，以AB为直径的⊙O交AE于点D，交BE于点F，过点B的直线与AE的延长线相交于点C，且∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
（1）判断BC与⊙O有什么位置关系，并说明理由；
（2）过点E作EG垂直BC于点G，若AB=8，sin∠EBC=$\frac{1}{4}$，求EG的长；
（3）在满足第（2）问的前提下，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AF，由AB为⊙O的直径，得出∠AFB=90°，证△ABE为等腰三角形，得出∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，由∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，证出∠ABC=90°，BC⊥AB，即可得出BC与⊙O相切；
（2）先由三角函数求出BF，得出BE=2BF=4，即可求出EG；
（3）证明△CEG∽△CAB，得出比例式$\frac{CE}{CA}=\frac{EG}{AB}$，求出CE，即可得出AC=AE+CE=$\frac{64}{7}$．

解答 解：（1）BC与⊙O相切；理由如下：
连接AF，如图1所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠BAF+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC与⊙O相切；

（2）如图2所示：∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=$\frac{1}{4}$，
∴BF=AB•sin∠BAF=8×$\frac{1}{4}$=2，BE=2BF=4，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×$\frac{1}{4}$=1；

（3）∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EG}{AB}$，
∴$\frac{CE}{CE+8}=\frac{1}{8}$，
∴CE=$\frac{8}{7}$，
∴AC=AE+CE=8+$\frac{8}{7}$=$\frac{64}{7}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了切线的判定、等腰三角形的判定与性质、三角函数的运用以及相似三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，需要通过运用三角函数和三角形相似才能得出结果．