Question

6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-7，3），B（-3，0），C（0，4），将△ABC作关于y轴的轴对称图形得△A′B′C．
（1）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（2）求直线CA′的函数解析式；
（3）在线段CA′上是否存在点P，使得点P到直线BC和直线BB′的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由两点间的距离公式求出三角形的三条边长，由两边相等，且这两条边的平方和等于第三条边的平方，从而得出结论；
（2）结合对称的特性可以找到A′的坐标，设出直线CA′的函数解析式，由待定系数法即可得出结论；
（3）假设存在，并设出P点坐标（m，-$\frac{1}{7}$m+4），分别找出直线BC和直线BB′的函数解析式，由点到直线的距离将点P到二者距离表示出来，再根据P点在线段CA′上找出m的取值范围，解关于m的一元一次方程即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC的顶点坐标分别为A（-7，3），B（-3，0），C（0，4），
∴由两点间的距离公式可得：AB=$\sqrt{[-3-（-7）]^{2}+（0-3）^{2}}$=5，BC=$\sqrt{[0-（-3）]^{2}+（4-0）^{2}}$=5，AC=$\sqrt{[0-（-7）]^{2}+（4-3）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴AB=BC，且有AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）解：∵A、A′关于y轴对称，且A点坐标为（-7，3），
∴点A′的坐标为（7，3）．
设直线CA′的函数解析式为y=kx+b，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{3=7k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线CA′的函数解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+4．
（3）解：假设存在这样的点P，设P点坐标为（m，-$\frac{1}{7}$m+4）．
设直线BC的解析式为y=k₁x+b₁，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-3{k}_{1}+{b}_{1}}\\{4={b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{b}_{1}=4}\end{array}\right.$．
故直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，即$\frac{4}{3}$x-y+4=0．
∵BB′均在x轴上，且不重合，
∴直线BB′的解析式为y=0．
点P到直线BC的距离d₁=$\frac{|\frac{4}{3}m-（-\frac{1}{7}m+4）+4|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{31}{35}$|m|．
点P到直线BB′的距离d₂=|-$\frac{1}{7}$m+4|．
由已知可得，$\frac{31}{35}$|m|=|-$\frac{1}{7}$m+4|．
又∵点P在线段CA′上，且点C（0，4），点A′（7，3），
∴0≤m≤7．
在0≤m≤7中，原方程变形为：$\frac{31}{35}$m=-$\frac{1}{7}$m+4，
解得：m=$\frac{35}{9}$．
此时P点的坐标为（$\frac{35}{9}$，$\frac{31}{9}$）．
故在线段CA′上存在点P，使得点P到直线BC和直线BB′的距离相等，点P的坐标为（$\frac{35}{9}$，$\frac{31}{9}$）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定、对称的性质、待定系数法求直线解析式和点到直线的距离公式，解题的关键是：（1）找出AB=BC，且AC²=AB²+BC²；（2）由对称的性质知道A′的坐标；（3）能熟练运用点到直线的距离公式．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，失分点在于（3）中去绝对值符号，部分同学会分类讨论，得出P点坐标再去排除，此处可先由点P在线段CA′找出m的取值范围，由此可直接得出所要求的结论．