Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=5，BC=8，点E在BC上，点F在CD上，且满足∠AEF=∠B，AF=EF，求BE的长．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由等腰梯形的性质得，∠B=∠C，由外角的性质得，∠BAE=∠FEC，则△ABE∽△FEC，分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H，则cos∠B=

3

5

，因为AF=FE，则有cos∠AEF=

1 2 AE

EF

=cos∠B=

3

5

，即

AE

EF

=

6

5

，
根据△ABE∽△ECF，得出

AE

EF

=

AB

EC

，即

5

8-x

=

6

5

，解得x=

23

6

．

解答：解：∵AB=DC=5，
∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，
∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B=

BG

AB

=

3

5

，
∵AF=FE，
∴cos∠AEF=

1 2 AE

EF

=cos∠B=

3

5

，
∴

AE

EF

=

6

5

，
∵△ABE∽△ECF，
∴

AE

EF

=

AB

EC

，即

5

8-x

=

6

5

，解得x=

23

6

，
∴BE的长为

23

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质．