Question

已知，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB边上的高，点E、F分别是AC、BC边上的点，连接DE、DF、EF，且∠EDF=90°．
（1）探究：△DEF与△DAC相似吗？请说明理由；
（2）应用：若AC=3，BC=4，DE=

3

2

，请直接写出线段DF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）△DEF与△DAC相似，首先利用有两对角相等的三角形相似证明△FDC∽△DEA，由相似三角形的性质可得：

DF

DE

=

DC

DA

，再通过有一对角相等，夹边的比值相等的三角形相似即可证明△DEF与△DAC相似；
（2）由（1）的结论可得

DF

DC

=

DE

DA

，在Rt△ABC中可求出CD、DA代入计算即可．

解答：解：（1）相似，理由如下：
∵∠BCA=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FCD=∠A，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDC+∠CDE=∠CDE+∠ADE=90°，
∴∠FDC=∠ADE，
∴△FDC∽△DEA，
∴

DF

DE

=

DC

DA

，即

DF

DC

=

DE

DA

，且∠EDF=∠CDA，
∴△DEF∽△DAC；
（2）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，可求得AB=5，则CD=

3×4

5

=2.4，
在Rt△ACD中，可求得AD=1.8，
又∵

DF

DC

=

DE

DA

，
∴

DF

2.4

=

1.5

1.8

，
解得DF=2．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．注意利用相似寻找证明相似的条件和勾股定理的应用．