Question

19．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，点P从B点出发沿B-C-D运动至点D，点B′是点B关于直线AP对称的点．
（1）点P从点B运动至D过程中，下列说法正确的有①③．（填序号）
①当点P运动到C时，线段AP长为$\sqrt{3}$．
②点B′沿直线从B运动到F．
③点B′沿圆弧从B运动到F．
（2）点P从点B运动至D的过程中，点B′到E的距离的最小值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 （1）如图，设O是正六边形的中心，连接OB交AC于K，解直角三角形求出AC，B′的运动轨迹是图中红色的弧线BF，由此即可周长判断．
（2）连接AE与弧BF交于点B′，此时EB′最短，

解答 解：（1）如图，设O是正六边形的中心，连接OB交AC于K．
在Rt△CBK中，∵∠BKC=90°，BC=1，∠BCK=30°，
∴BK=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2KC=2$\sqrt{B{C}^{2}-B{K}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵点P从点B运动至D过程中，
AB=AB′，
∴点B′的运动轨迹是图中红色的弧线BF，
∴①③正确，
故答案为①③．

（2）连接AE与弧BF交于点B′，此时EB′最短，
EB′=AE-AB′=AC-AB=$\sqrt{3}$-1，
故答案为$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查正多边形与圆、轴对称的性质、勾股定理．解直角三角形等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，属于中考常考题型．