Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE于E，DE与AB交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 BE与DH的延长线交于G点，由DH∥AC得到∠BDH=45°，则△HBD为等腰直角三角形，于是HB=HD，由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG，
根据等腰三角形性质得BE=GE，即BE=$\frac{1}{2}$BG，然后根据“AAS”证明△BGH≌△DFH，则BG=DF，所以BE=$\frac{1}{2}$FD．

解答 解：BE=$\frac{1}{2}$FD．理由：
BE与DH的延长线交于G点，如图，
∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DFH}\\{∠GBH=∠FDH}\\{BH=DH}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE=$\frac{1}{2}$FD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．