Question

15．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

• A． y=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x^2}$
• B． y=$\sqrt{3}{x^2}$
• C． y=2$\sqrt{3}{x^2}$
• D． y=3$\sqrt{3}{x^2}$

Answer 1

分析 由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．

解答 解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x，
∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴EF=2CF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$DE•CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²，
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG=MG=FE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∵∠G=180°-∠GFH=60°，
∴△FMG是等边三角形，
∴S_△FGH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²，
∴S_菱形FGMH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²，
∴S_阴影=S_△DEF+S_菱形FGMH=$\sqrt{3}$x²．
故选B．

点评 此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形是关键．