Question

1．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=5，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．
（1）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，△PCQ的面积等于4？
（2）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，PQ的长度等于5？
（3）△PCQ的面积何时最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）分别表示出线段CP和线段CQ的长，利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（2）表示出线段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）列出△PCQ的面积关于t的函数解析式，配方可得最大值．

解答 解：（1）设t秒后△PCQ的面积等于4，根据题意得：CQ=t，BP=2t，则CP=7-2t，
$\frac{1}{2}$CQ•CP=$\frac{1}{2}$×t（7-2t）=4，
整理，得：t₁=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，t₂=$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$，
故若P、Q同时分别从B、C出发，那么$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$、$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$秒后，△PCQ的面积等于4；
（2）若PQ的长度等于5，则PC²+QC²=PQ²，
即：（7-2t）²+t²=25，
整理，得：5t²-28t+24=0，
解得：t₁=$\frac{14+2\sqrt{19}}{5}$，t₂=$\frac{14-2\sqrt{19}}{5}$，
∵CP=7-2t≥0，即t≤3.5，
∴t=$\frac{14+2\sqrt{19}}{5}$＞3.5，舍去，
故那么$\frac{14-2\sqrt{19}}{5}$秒后，PQ的长度等于5；
（3）由（1）知△PCQ的面积S=$\frac{1}{2}$×t（7-2t）=-（t-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，
当t=$\frac{7}{4}$时，S取得最大值，最大值为$\frac{49}{16}$，
故当t=$\frac{7}{4}$时△PCQ的面积最大，最大面积为$\frac{49}{16}$．

点评 本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数最值的求法，表示出所涉及的线段是前提，根据面积和勾股定理列出方程、函数表达式是关键．