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    20．阅读材料：
    ①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）
    ②两条平行线l1，l2，直线上l1任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；
    ③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）=0
    ④对于同一条直线l，我们定义d（l，l）=0．
    对于两点P1，P2和两条直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2-相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
    设P1（4，0），P2（0，3），l1：y=x，l2：y=$\sqrt{3}$x，l3：y=kx，l4：y=k′x，解决以下问题：
    （1）d（P1，P2|l1，l1）=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，d（P1，P2|l1，l2）=2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$
    （2）①若k＞0，则当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=$\frac{4}{3}$；
    ②若k＜0，试确定k的值使得d（P1，P2|l3，l3）最大．
    （3）若k′＞k＞0，且，l3，l4的夹角是30°，直接写出d（P1，P2|l3，l4）的最大值$\sqrt{13}$．

    分析 （1）首先分别求出d（P1，l1）、d（l1，l1）、d（P2，l1）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P1，P2|l1，l1）的值是多少；然后分别求出d（P1，l1）、d（l1，l2）、d（P2，l2）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P1，P2|l1，l2）的值是多少即可．
    （2）①首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，然后根据P1A+P2B≤P1P2，可得当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的值最大，据此求出k的值是多少即可．
    ②首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，然后根据P2B+P3C≤P2P3，可得当P2P3⊥l3时，P2B+P3C取到最大值，据此求出k的值是多少即可．
    （3）首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，然后求出d（P1，P2|l3，l4）=d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）=$\sqrt{13}$sin（α+γ）（其中tanγ=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），据此判断出d（P1，P2|l3，l4）的最大值是多少即可．

    解答 解：（1）∵P1（4，0），P2（0，3），l1：y=x，l2：y=$\sqrt{3}$x，
    ∴d（P1，P2|l1，l1）=d（P1，l1）+d（l1，l1）+d（P2，l1）
    =$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{3}{\sqrt{2}}$
    =2$\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{2}$
    =$\frac{7}{2}\sqrt{2}$
    ∴d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
    =$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{|\sqrt{3}×0-1×3|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$
    =2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$

    （2）①如图1，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，
    ，
    d（P1，P2|l3，l3）=d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）=P1A+P2B，
    ∵P1A≤P1C，P2B≤P2C，
    ∴P1A+P2B≤P1P2，
    ∴当P1P2⊥l3时，
    P1A+P2B的最大值是：$\sqrt{{{OP}_{1}}^{2}{+{OP}_{2}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
    此时k=tan∠OP2P1=$\frac{{OP}_{1}}{{OP}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
    ∴若k＞0，当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=$\frac{4}{3}$．

    ②如图2，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，，
    ∵P1、P3关于原点对称，
    ∴P1A=P3C，
    ∴d（P1，P2|l3，l3）=d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）=P1A+P2B=P2B+P3C，
    ∵P2B≤P2D，P3C≤P3D，
    ∴P2B+P3C≤P2P3，
    ∴当P2P3⊥l3时，
    P2B+P3C的最大值是：$\sqrt{{{OP}_{3}}^{2}{+{OP}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
    此时k=-tan∠OP2P3=-$\frac{{OP}_{3}}{{OP}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$，
    ∴若k＜0，当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=-$\frac{4}{3}$．

    （3）如图3，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，
    ，
    设∠AOP1=α，∠BOP2=β，
    则β=90°-30°-α=60°-α，
    ∴d（P1，P2|l3，l4）=d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）
    =P1A+P2B
    =OP1sinα+OP2sinβ
    =4sinα+3sinβ
    =4sinα+3sin（60°-α）
    =$\frac{5}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosα
    =$\sqrt{13}$sin（α+γ）（其中tanγ=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）
    ∴当α+γ=90°，即α=90°-arctan$\frac{3\sqrt{3}}{5}$时，
    $\sqrt{13}$sin（α+γ）的最大值是$\sqrt{13}$，
    ∴d（P1，P2|l3，l4）的最大值是$\sqrt{13}$．
    故答案为：$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$，$\sqrt{13}$．

    点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，解答此题的关键是理解d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）的意义和求法．
    （2）此题还考查了三角函数的最值的求法，要熟练掌握．

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    1．已知：CA=CB，AG=CG，AE=BE，∠ADB=∠CAB．求证：AF=DF．

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    2．计算：
    （1）$\sqrt{18}$×$\sqrt{30}$
    （2）$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{2}{75}}$
    （3）$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{98}}$
    （4）$\frac{\sqrt{20}-1}{\sqrt{5}}$．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，求∠A的正切值．
    小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．

    （1）图2中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为$\frac{1}{2}$；
    （2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）
    解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=$2\sqrt{10}$，KG=$2\sqrt{5}$，延长HK，求∠α+∠β的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．类比转化、从特殊到一般等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
    原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交CD于点G．若$\frac{AF}{EF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．
    （1）尝试探究
    在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是AB=3EH，CG和EH的数量关系是CG=2EH，$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$．
    （2）类比延伸
    在原题的条件下，若$\frac{AF}{EF}$=m（m＞0），试求$\frac{CD}{CG}$的值（用含m的代数式表示，写出解答过程）．
    （3）拓展迁移
    如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，若BF的延长线交CD于点G，且 $\frac{AF}{EF}$=m，$\frac{CD}{AB}$=n，则$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{mn}{2}$．（用含m、n的代数式表示，不要求证明）

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    5．如图，点O与线段AB在同一平面内，AO=AB=2，绕点O将线段AB旋转一周，则线段AB扫过的最小面积为4π．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．如图，一次函数y=-x+3的图象与x，y轴分别交于点A，B，点C、点B关于点M（0，2）对称．
    （1）求C点坐标；
    （2）设过B、C两点的圆的圆心为P
    ①若P点横坐标为-3，圆P交x轴于点E、F（E在F的左侧），分别求sin∠BEC和sin∠BFC的值；
    ②对于常数a（a＞1），x轴上是否存在点Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，BF交AC于点M，连接CF．
    （1）求证：四边形ADCF是菱形；
    （2）若∠FCD=120°，且FC=6，求∠CBF的正切值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．如图，南开中学高二年级的学生分别在五云山寨M，N两处参加社会时间活动．先要在道路AB，AC形成的锐角∠BAC内设一个休息区P，使P到两条道路的距离相等，并且使得PM=PN，请用直尺和圆规作出P点的位置（不写作法，值保留作图痕迹）．

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