Question

9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，BF交AC于点M，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若∠FCD=120°，且FC=6，求∠CBF的正切值．

Answer 1

分析 （1）证相似得出比例式，求出AF=BD，根据直角三角形性质求出AD=BD=CD=AF，即可得出结论；
（2）作FG⊥BC的延长线于点G，根据勾股定理求出FG，再进一步求出∠CBF的正切值．

解答 解：（1）∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴△AFE∽△DBE，
∴$\frac{AF}{DB}$=$\frac{AE}{DE}$，
∴AF=DB，
∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线，
∴AD=BD=DC，
∴AF=DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）如图，

作FG⊥BC的延长线于点G．
由（1）可得，四边形ADCF是菱形，FC=6，AD是BC边上的中线
∴FC=CD=BD=6
∵∠FCD═120°
∴∠FCG=60°
∴CG=$\frac{1}{2}$FC=3，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}{-CG}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{-3}^{2}}$3$\sqrt{3}$
∵BG=CG+CD+DB=3+6+6=15，∠FGC=90°
∴tan∠CBF=$\frac{FG}{BG}$=$\frac{3\sqrt{3}}{15}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 此题考查了直角三角形性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．