Question

17．已知点B是∠MAN角平分线上一点，∠CBD的两边BC，BD分别与射线AM，AN交于点C，D，且∠MAN+∠CBD=180°．
（1）如图①，作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F．若∠MAN=90°，易证：四边形ACBD的面积等于四边形AEBF的面积；
（2）如图②，图③，作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F，若0°＜∠MAN＜180°，试探究：四边形ACBD的面积是否等于四边形AEBF的面积，并说明理由；
（3）如图③，若∠MAN=120°，AC=2，AD=3，直接写出四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平分线的性质，证明△CEB≌△DFB，所以S_△CBE=S_△DBF，得到S_△CBE+S_{四边形ACBF}=S_△DBF+S_{四边形ACBF}，即S_{四边形AEBF}=S_{四边形ACBD}．即可解答；
（2）利用平分线的性质，证明△CEB≌△DFB，所以S_△CBE=S_△DBF，得到S_△CBE+S_{四边形ACBF}=S_△DBF+S_{四边形ACBF}，即S_{四边形AEBF}=S_{四边形ACBD}．即可解答；
（3）根据点B是∠MAN角平分线上一点，∠MAN=120°，得到∠BAF=∠BAE=60°，由（1）（2）可知：△ABE≌△ABF，△BCE≌△BDF，所以AE=AF，CE=DF，得到AE=AC+CE=AD-DF=AD-CE，所以CE=（AD-AC）÷2=（3-2）÷2=$\frac{1}{2}$，得到AE=AF=AC+CE=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，所以BE=AE•tan60°=$\frac{5}{2}×\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，即可得到四边形面积为：S_{四边形ACBD}=S_{四边形AEBF}=2S_△ABE=2×$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：（1）∵点B是∠MAN角平分线上一点，作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F，
∴BE=BF，
∵∠MAN+∠CBD=180°，∠MAN=90°，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠DBF=90°，
∵∠MAN=90°，BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F，
∴∠EBF=90°，
∴∠EBC+∠CBF=90°，
∴∠CBE=∠DBF，
在△CBE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DBF}\\{BF=BF}\\{∠CEB=∠DFB=9{0}^{°}}\end{array}\right.$
∴△CBE≌△DBF，
∴S_△CBE=S_△DBF，
∴S_△CBE+S_{四边形ACBF}=S_△DBF+S_{四边形ACBF}，
∴S_{四边形AEBF}=S_{四边形ACBD}．
（2）∵点B是∠MAN角平分线上一点，作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F，
∴BE=BF，
∵∠MAN+∠CBD=180°．
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ADB=∠BCE，
在△CBE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BCE}\\{∠BEC=∠DFB=9{0}^{°}}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△DBF，
∴S_△CBE=S_△DBF，
∴S_△CBE+S_{四边形ACBF}=S_△DBF+S_{四边形ACBF}，
∴S_{四边形AEBF}=S_{四边形ACBD}．
（3）如图③，作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F．

∵点B是∠MAN角平分线上一点，∠MAN=120°，
∴∠BAF=∠BAE=60°，
由（1）（2）可知：△ABE≌△ABF，△BCE≌△BDF，
∴AE=AF，CE=DF，
∴AE=AC+CE=AD-DF=AD-CE，
∴CE=（AD-AC）÷2=（3-2）÷2=$\frac{1}{2}$，
∴AE=AF=AC+CE=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴BE=AE•tan60°=$\frac{5}{2}×\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形ACBD}=S_{四边形AEBF}=2S_△ABE=2×$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△CBE≌△DBF．