Question

1．已知：CA=CB，AG=CG，AE=BE，∠ADB=∠CAB．求证：AF=DF．

Answer 1

分析 先作出辅助线△ABC的外接圆⊙O，设CD交⊙O于点M，连接OC，BM，OM，OB，OD，EM，由∠ADB=∠CAB=∠ABC，可得出AC，BC是⊙O的切线，由切割线定理及射影定理得出CM•CD=CE•CO，易证O、D、M、E四点共圆，可得△CEM∽△DEO，由射影定理及角的关系可得出△BEM∽△DEB，继而由角的关系可得△BDE∽△BAD，可得出∠BAD=∠ADF，即可得出AF=DF．

解答 证明：如图，作△ABC的外接圆⊙O，设CD交⊙O于点M，连接OC，BM，OM，OB，OD，EM，

∵CA=CB，
∴∠CAB=∠ABC，
∵∠ADB=∠CAB．
∴∠ADB=∠CAB=∠ABC，
∴AC，BC是⊙O的切线，
∴OC经边点E，BC²=CM•CD，
由射影定理得：BC²=CE•CO，
∴CM•CD=CE•CO，即$\frac{CM}{CO}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴△CEM∽△CDO，
∴∠CEM=∠CDO，
∴O、D、M、E四点共圆，
∴∠CME=∠DOE，∠CEM=∠ODM=∠OMD=∠OED，
∴△CEM∽△DEO，
∴EM：OE=CE：DE，即：OE•CE=DE•EM，
由射影定理得：BE²=OE•CE，
∴BE²=DE•EM，即：BE：DE=EM：BE，
∵∠CEM=∠OED，AB⊥OC，
∴∠BEM=∠DEB，
∴△BEM∽△DEB，
∴∠EBM=∠BDE，
∵∠EBM=∠ABM=∠ADM，
∴∠BDE=∠ADM=∠ADF，
∵∠BED=∠AEG=∠BAC=∠ADB，
∴△BDE∽△BAD，
∴∠BAD=∠BDE，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AF=DF．

点评 本题主要考查了四点共圆及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线，灵活运用四点共圆及相似三角形的判定与性质．