Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（-6，0），点B（0，8），点C在y轴上，将△OAB沿直线AC对折，使点O落在边AB上的点D处．
（1）求直线AB、AC的解析式．
（2）如图2，过B作BE⊥AC，垂足为E，若F为AB边上一动点，是否存在点F，使C为△EOF内心？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法可直接求得直线AB的解析式，根据A、B的坐标可求得OB、AB、AO，再根据折叠的性质在Rt△BCD中，可求得CD的长，可求得OC的长，可求得C点坐标，由待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）可先证明△ABE∽△ACO，可求得E点坐标，再由内心的性质可证明△AOE≌△AFE，可求得F点坐标，再证明∠FOB=∠EOB即可．

解答 解：
（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{8=b}\\{0=-6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8；
设C点坐标为（0，x），则OC=CD=x，
又A（-6，0），B（0，8），
∴AO=6，BO=8，AB=10，
∴AD=AO=6，BD=AB-AD=10-6=4，BC=OB-OC=8-x，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD²+CD²=BC²，
即4²+x²=（8-x）²，解得x=3，
∴点C坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3=n}\\{0=-6m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3；
（2）由题意可知∠BAE=∠OAC，且∠BEA=∠∠COA=90°，
∴△ABE∽△ACO，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，
又由（1）可知AB=10，AC=3$\sqrt{5}$，AO=6，
∴$\frac{10}{3\sqrt{5}}$=$\frac{AE}{6}$，解得AE=4$\sqrt{5}$，
∵E在直线AC上，
∴可设点E坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+3），
∴AE=$\sqrt{[x-（-6）]^{2}+（\frac{1}{2}x+3）^{2}}$，
∴$\sqrt{[x-（-6）]^{2}+（\frac{1}{2}x+3）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，解得x=2或x=-14（舍去），
∴E点坐标为（2，4），
若C为△EOF的内心，则∠FEA=∠OEA，且∠FAE=∠OAE，
在△AOE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠FEA}\\{AE=AE}\\{∠OAE=∠FAE}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△AFE（ASA），
∴AF=AO=6，
∵点F在直线AB上，
∴可设F点坐标为（a，$\frac{4}{3}$a+8），
∴AF=$\sqrt{[a-（-6）]^{2}+（\frac{4}{3}a+8）^{2}}$=6，解得a=-$\frac{12}{5}$或a=-$\frac{54}{5}$（舍去），
∴F（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），
分别过F、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图，

则FM=$\frac{24}{5}$，OM=$\frac{12}{5}$，且NE=4，ON=2，
∴$\frac{FM}{EN}$=$\frac{MO}{ON}$，且∠FMO=∠ENO=90°，
∴△FMO∽△ENO，
∴∠FOM=∠EON，
∴∠FOB=∠EOB，
即OB平分∠FOE，
∴C为△EOF的内心，
综上可知存在点F（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），使点C为△EOF的内心．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内心的性质等．在（1）中求得点C的坐标是解题的关键，注意方程思想的应用；在（2）中求得E、F的坐标是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，难度适中．