Question

16．如图，在等边△ABC中，AB=1，D为AB边的中点，E为直线AC上一点，连接ED并延长，在ED的延长线上取点F，使DF=DE，连接AF，BF，BE．
（1）证明：四边形AFBE是平行四边形
（2）当CE=$\frac{1}{2}$时，四边形AFBE是矩形；
    当CE=0时，四边形AFBE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①设CE=x，四边形AFBE是矩形，因此∠BEC=90°，再利用勾股定理表示出BE²，然后再利用勾股定理可得（1-x）²+1-x²=1²，再解即可；
②当E在AB的垂直平分线上时，四边形AFBE是菱形，因此E和C重合，故CE=0．

解答 （1）证明：∵D为AB边的中点，
∴AD=BD，
∵DF=DE，
∴四边形AFBE是平行四边形；

（2）解：①设CE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB=1，
∵CE=x，
∴AE=1-x，
当四边形AFBE是矩形时，则∠AEC=90°，
∴EB²=BC²-CE²，
∴EB²=1-x²，
∵AE²+BE²=AB²，
∴（1-x）²+1-x²=1²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$；

②当E在AB的垂直平分线上时，四边形AFBE是菱形，
∵△ABC是等边三角形，D为AB边的中点，
∴E应与C重合，
∴CE=0，
故答案为：0．

点评 此题主要考查了菱形、矩形、平行四边形的判定，关键是掌握三种四边形的判定定理．