Question

4．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S_△ABP=S_△AOB，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用坐标轴上点的坐标特征求出A（-2，0），B（0，4），再利用点M为线段OB的中点得到M（0，2），然后利用待定系数法求直线AM的解析式；
（2）设P（t，t+2），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×2×|t+2|=4，然后去绝对值解方程求出t的值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，2x+4=0，解得x=-2，则A（-2，0）；
当x=0时，y=2x+4=4，则B（0，4），
而点M为线段OB的中点，则M（0，2），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），M（0，2）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线AM的解析式为y=x+2；
（2）设P（t，t+2），
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
而S_△ABP=S_△AOB，
所以$\frac{1}{2}$×2×|t+2|=4，解得t=2或t=-6，
所以P点坐标为（2，4）或（-6，-4）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了三角形面积公式．