Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（重合），点M关于AB所在直线的对称点为N，△CMN的面积为S．

（1）求∠CAD的度数；

（2）设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？

（3）S的值最大时，过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN（如图2），P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件NP的长．

Answer 1

【答案】（1）∠CAD=90°；（2）S=﹣x2+2x，当x=2时，S有最大值．（3）2或2或．

【解析】分析：(1)由三角形的内角和定理可得∠BAC，再由轴对称的性质求∠CAD；(2)AM＝4－x，又△AMN是等腰直角三角形，由三角形的面积公式和二次函数的性质即可求解；(3)用勾股定理求出AE，AO，ON，OE，EN的长，因为点M，N不动，点P，Q是动点，所以需要分三种情况讨论，分别画出每一种情况的图形，根据图形求解.

详解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝67.5°，

∴∠ACB＝∠ABC＝67.5°，∴∠CAB＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，

∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，

∴∠DAB＝∠CAB＝45°，

∴∠CAD＝45°＋45°＝90°．

(2)由(1)知：AN⊥AM，

∵点M.N关于AB所在直线对称，∴AM＝AN，

∵CM＝x，∴AN＝AM＝4﹣x，

∴S＝×CM×AN＝x(4﹣x)，

∴S＝﹣x2＋2x，

∴当x＝﹣＝2时，S有最大值．

(3)∵CE⊥AC，

∴∠ECA＝90°，∵∠CAB＝45°，

∴∠CEA＝∠EAC＝45°，∴CE＝AC＝4，

在Rt△ECA中，AC＝EC＝4，由勾股定理得：EA＝，

∵AM＝AN，∠CAB＝∠DAB，∴AO⊥MN，MO＝NO，

在Rt△MAN中，AM＝AN＝4﹣2＝2，由勾股定理得：MN＝，

∴MO＝NO＝，

由勾股定理得：AO＝，

∴EO＝4﹣，

在Rt△EON中，EO＝，NO＝，

由勾股定理得：EN＝，

分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，即NP＝NE＝；

②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，

此时NP＝MN＝；

③以MN为一边时，

过M作MZ⊥NE于Z，则PZ＝NZ，

∵AE⊥MN，∴∠EON＝∠MZN＝90°，

∵∠ENO＝∠MNZ，∴△ENO∽△MNZ，

∴，∴，

∴ZN＝，∴NP＝2ZN＝.

即所有满足条件NP的长是或或．