【题目】如图:在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y= 与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A.
(1)求点A的坐标;
(2)在y轴上确定点M,使得△AOM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标;
(3)如图、设x轴上一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y= 和y=﹣x+7的图象于点B、C,连接OC,若BC=
OA,求△ABC的面积及点B、点C的坐标;
(4)在(3)的条件下,设直线y=﹣x+7交x轴于点D,在直线BC上确定点E,使得△ADE的周长最小,请直接写出点E的坐标.
【答案】
(1)解:联立得: ,
解得: ,
则点A的坐标为(3,4)
(2)解:根据勾股定理得:OA= =5,
如图1所示,分四种情况考虑:
当OM1=OA=5时,M1(0,5);
当OM2=OA=5时,M2(0,﹣5);
当AM3=OA=5时,M3(0,8);
当OM4=AM4时,M4(0, ),
综上,点M为(0,5)、(0,﹣5)、(0,8)、(0, )
(3)解:设点B(a, a),C(a,﹣a+7),
∵BC= OA=
×5=14,
∴ a﹣(﹣a+7)=14,
解得:a=9,
过点A作AQ⊥BC,如图2所示,
∴S△ABC= BCAQ=
×14×(9﹣3)=42,
当a=9时, a=
×9=12,﹣a+7=﹣9+7=﹣2,
∴点B(9,12)、C(9,﹣2)
(4)解:如图3所示,作出D关于直线BC的对称点D′,连接AD′,与直线BC交于点E,连接DE,此时△ADE周长最小,
对于直线y=﹣x+7,令y=0,得到x=7,即D(7,0),
由(3)得到直线BC为直线x=9,
∴D′(11,0),
设直线AD′解析式为y=kx+b,
把A与D′坐标代入得: ,
解得: ,
∴直线AD′解析式为y=﹣ x+
,
令x=9,得到y=1,
则此时点E坐标为(9,1)
【解析】(1)联立正比例函数和一次函数解析式建立方程组,解方程组求解,即可求出点A的坐标。
(2)利用勾股定理求出OA的长,根据已知点M在x轴上,且△AOM是等腰三角形,分四种情况讨论:当OM1=OA=5时,当OM2=OA=5时,当AM3=OA=5时,当OM4=AM4时,分别写出点M的坐标。
(3)根据已知点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),设出B与C坐标,表示出BC,由已知BC与OA关系,及OA的长求出BC的长,求出a的值,利用三角形的面积公式求出△ABC的面积,再求出a的值,即可确定出点B、C的坐标。
(4)作出D关于直线BC的对称点D′,连接AD′,与直线BC交于点E,连接DE,此时△ADE周长最小,先求出点D′的坐标,再求出直线直线AD′解析式,即可求出点E的坐标。
【考点精析】掌握三角形的面积和等腰三角形的性质是解答本题的根本,需要知道三角形的面积=1/2×底×高;等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是 .
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【题目】在一次60秒跳绳测试中,10名同学跳的次数分别为170,190,180,150,180,180,160,200,180,190,则这次测试所跳次数的众数为
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的动点,BC∥OP,BC=OP.
(1)求证:四边形AOCP是平行四边形;
(2)若AB=4,填空:
①当AP= 时,四边形AOCP是菱形;
②当AP= 时,四边形OBCP是正方形.
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【题目】如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为10, 2号、3号两个正方形的面积和为7,则a,b,c三个方形的面积和为( )
A.17
B.27
C.24
D.34
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