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【题目】如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:

(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.

【答案】
(1)解:∵AB∥CD,

∴∠BAD+∠ADC=180°,

∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,

∴2∠MAD+2∠ADM=180°,

∴∠MAD+∠ADM=90°,

∴∠AMD=90°,

即AM⊥DM


(2)解:作NM⊥AD交AD于N,

∵∠B=90°,AB∥CD,

∴BM⊥AB,CM⊥CD,

∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,

∴BM=MN,MN=CM,

∴BM=CM,

即M为BC的中点.


【解析】(1)根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°,根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°,根据垂直的定义得到答案;(2)作NM⊥AD,根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM,等量代换得到答案.
【考点精析】利用角平分线的性质定理对题目进行判断即可得到答案,需要熟知定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.

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