【题目】如图,中, ,以为直径的交边于点,连接,过作的垂线,交边于点,交边的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求劣弧的长.
【答案】(1)见解析;(2)2π.
【解析】
(1)根据圆周角定理求出AD⊥BC,得出AD平分∠BAC,即可推出OD∥AC,推出OD⊥EF,根据切线的判定推出即可.
(2)由OD⊥DF得∠ODF=90°,利用含30度的直角三角形三边的关系OF=2OD,即OB+3=2OD,可解得OD=3,再计算出∠AOD=90°+∠F=120°,然后根据弧长公式求解.
证明:(1)连接OD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥EF,
∵OD过O,
∴EF是⊙O的切线.
(2)∵OD⊥DF,
∴∠ODF=90°,
∵∠F=30°,
∴OF=2OD,即OB+3=2OD,
而OB=OD,
∴OD=3,
∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°,
∴劣弧的长度==2π.
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【题目】对于直角坐标系 xOy 中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得点P在射线BC上,且∠APB=∠ACB(0°<∠ACB<180°),则称P为⊙C的依附点.
(1)当⊙O的半径为1时
①已知点D(﹣1,0),E(0,﹣2),F(2.5,0),在点D,E,F中,⊙O的依附点是___;
②点T在直线y=x上,若T为⊙O的依附点,求点T的横坐标t的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线 y=﹣2x+2与x轴、y 轴分别交于点M、N,若线段MN上的所有点都是⊙C 的依附点,请求出圆心C的横坐标n的取值范围.
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【题目】孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时,给同学们提出了一个问题:“如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子,它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论,各抒己见,其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答.小芳认为6的可能性最大,小超认为7的可能性最大.你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明.(骰子:六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体.)
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,将放置在第一象限,且轴,直线从原点出发沿轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示,则平行四边形的面积为___________.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BC是弦,∠ABC=30°,过圆心O作OD⊥BC,垂足为E,交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
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【题目】《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.
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【题目】(1)如图,已知△ABC中,AB=2,BC=4.画出△ABC的高AD和CE并求出的值.
(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,点B坐标为满足.
①若没有平方根,判断点A在第几象限并说明理由;
②若点A到轴的距离是点B到轴距离的3倍,求点B的坐标.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,连接AC,BD,半径CO交BD于点E,过点C作切线,交AB的延长线于点F,且∠CFA=∠DCA.
(1)求证:OE⊥BD;
(2)若BE=4,CE=2,则⊙O的半径是 ,弦AC的长是 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数()的图象交于,两点.
(1)求的值;
(2)求出一次函数与反比例函数的表达式;
(3)过点作轴的垂线,与直线和函数()的图象的交点分别为点,,当点在点下方时,写出的取值范围.
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