Question

4．在平面直角坐标系中，直线AC：y=$\frac{4}{3}$x+8分别交X轴、y轴于A、C，将△AOC沿y轴翻折得△DOC，并将△AOC绕AC边中点旋转180°得△CBA，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且保证∠CEF的正切值一直为$\frac{4}{3}$．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）△AEF与△DCE能否全等？若能，则求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）当△EFC为直角三角形时，求点E的坐标；
（4）当△EFC为等腰三角形时，直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线AC解析式，求出A与C坐标，根据三角形AOC绕AC边中点旋转180°得△CBA，得到四边形AOCB为矩形，确定出B坐标，再由折叠的性质确定出D坐标即可；
（2）△AEF与△DCE能全等，理由为：根据AO，DC以及OD的长，确定出tan∠CDO的值与tan∠CEF的值相等，进而确定出∠CDO=∠CEF，利用外角性质得到∠1=∠2，再由∠CAO=∠CDO，加上条件AE=CD，可得出△AEF与△DCE能全等，求出此时E坐标即可；
（3）当∠CFE为直角时，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形CEF相似，利用相似三角形对应角相等得到∠ACO=∠ECF，即E与原点重合，确定出E坐标即可；
（4）分EF=EC，FC=FE，CE=CF三种情况，根据△EFC为等腰三角形，确定出此时E坐标即可．

解答 解：（1）对于直线AC：y=$\frac{4}{3}$x+8，△AOC绕AC边中点旋转180°得△CBA，
令x=0，得到y=8；令y=0，得到x=-6，即A（-6，0），B（-6，8），C（0，8），
由△AOC沿y轴翻折得△DOC，得到OD=OA=6，即D（6，0）；
（2）△AEF与△DCE能全等，如图1所示，

∵AO=6，DC=8，OD=6，
∴tan∠CAO=tan∠CDO=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$=tan∠CEF，
∴∠CAO=∠CEF=∠CDO，
∵∠1+∠CEF=∠2+∠CDO，
∴∠1=∠2，
∴当AE=CD时，△AEF≌△CDE（ASA），
此时，在Rt△COD中，CD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AE=10，OE=AE-OA=10-6=4，
∴E（4，0），
则△AEF与△DCE能全等，此时E的坐标为（4，0）；
（3）当∠CFE=90°时，由∠CEF=∠CAO，∠CFE=∠AOC，得到△AOC∽△EFC，
∴∠ACO=∠ECF，
∴E在原点，即E（0，0）；
（4）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=10，
∴OE=AE-OA=4，即E（4，0）；
②当EF=RFC时，如图2所示，过F作FM⊥CE，则M为CE中点，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=$\frac{6}{5}$EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AE}{CD}$，即$\frac{EF}{\frac{6}{5}EF}$=$\frac{AE}{10}$，
解得：AE=$\frac{25}{3}$，
∴OE=AE-OA=$\frac{25}{3}$-6=$\frac{7}{3}$，此时E（$\frac{7}{3}$，0）；
③当CE=CF时，则有∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时E与D重合，与已知条件矛盾．
综上，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（$\frac{7}{3}$，0），（4，0）．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质，一次函数与坐标轴的交点，旋转、折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．