Question

8．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AD=9，tanB=$\frac{4}{3}$，P是BC上的动点（与B、C不重合），作∠APQ=∠B，PQ交射线AD于点Q，设BP=x，QD=y
（1）求AP的长（用x的代数式表示）；
（2）当点Q在AD的延长线上时，求y与x的函数解析式；
（3）联结CQ，如果△DQC是等腰三角形，求CQ的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥BC于点H，可以求出AH，BH的长度，然后在Rt△AHP中，利用勾股定理表示AP的长度；
（2）根据等腰梯形的性质求出AD、BC的长度，然后证明△APQ和△PBA相似，根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，再代入数据进行整理即可得到y关于x的函数解析式；
（3）①如果DQ=CD=5，过C作CG⊥DQ于G，如图2，解直角三角形得到DG=AH=4，DG=3，根据勾股定理即可得到结论；②如果CQ=CD，得到CQ=5，③如果DQ=CQ，过Q作QL⊥CD于L，如图3，根据等腰三角形的性质得到DL=CL=$\frac{5}{2}$，根据三角函数的定义得到QL=$\frac{10}{3}$，根据勾股定理得到CQ=$\sqrt{C{L}^{2}+L{Q}^{2}}$=$\frac{25}{6}$．

解答 解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H．
∵tanB=$\frac{4}{3}$，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
在Rt△AHP中，
AP=$\sqrt{（3-x）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$；

（2）∵AD=9，
∴BC=6+9=15，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB，
∵∠APQ=∠B．
∴△APQ∽△PBA，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AP}{BP}$，
∴$\frac{y+4}{\sqrt{{x}^{2}-6x+25}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-6x+25}}{x}$．
∴y=$\frac{{x}^{2}-10x+25}{x}$ （0＜x≤10）；

（3）如果△DQC是等腰三角形，
①如果DQ=CD=5，
∵∠QDC=∠B，
过C作CG⊥DQ于G，如图2，
∴DG=AH=4，DG=3，
∴QG=2，
∴CQ=$\sqrt{C{G}^{2}+G{Q}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
②如果CQ=CD，
∴CQ=5，
③如果DQ=CQ，
过Q作QL⊥CD于L，如图3，
∴DL=CL=$\frac{5}{2}$，
∵tan∠CDQ=tanB=$\frac{4}{3}$，
∴QL=$\frac{10}{3}$，
∴CQ=$\sqrt{C{L}^{2}+L{Q}^{2}}$=$\frac{25}{6}$，
综上所述：如果△DQC是等腰三角形，CQ的长是2$\sqrt{5}$或5或$\frac{25}{6}$．

点评 本题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及解直角三角形，综合性较强，需要结合图形，对各知识点综合考虑并灵活运用方能解决．