Question

7．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”，例如当点C的坐标为（0，0）时，有AC+BC=4，则称点C（0，0）为点A，B的“4和点”．请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值；
（2）点E是点A，B的“5和点”，且点E在x轴上，则点E的坐标为（-2.5，0），（2.5，0）；
（3）若点A，B的“m和点”有且只有4个，则m的取值范围是m＞4．

Answer 1

分析 （1）先由A、B两点的坐标求出AB=4，再根据等边三角形的定义得到AC=BC=AB=4，然后根据“m和点”的定义即可求出m=8；
（2）设点E为点A，B的“5和点”．根据“m和点”的定义可知点E在坐标轴上，再分两种情况进行讨论：①如果点E在x轴上，设E点坐标为（x，0），根据AE+BE=5列出方程|x+2|+|x-2|=5，解方程求出x的值，即可得到E点坐标；②如果点E在y轴上，设E点坐标为（0，y），根据AE+BE=5列出方程$\sqrt{{2}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{2}^{2}+{y}^{2}}$=5，解方程求出y的值，即可得到E点坐标；
（3）由AB=4，可知点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况进行讨论：①当m＜4时，根据两点之间线段最短可知A，B的“m和点”没有；②当m=4时，x轴上-2与2之间的任意一个数所对应的点都是A，B的“m和点”，所以有无数个；③当m＞4时，A，B的“m和点”x轴上有2个，y轴上也有2个，一共有4个．

解答 解：（1）∵A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=4．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴AC+BC=4+4=8，即m=8；
（2）设点E为点A，B的“5和点”．分两种情况：
①如果点E在x轴上，设E点坐标为（x，0）．
∵AE+BE=5，
∴|x+2|+|x-2|=5，
当x≤-2时，-（x+2）-（x-2）=5，解得x=-2.5，所以E点坐标为（-2.5，0）；
当-2＜x≤2时，（x+2）-（x-2）=5，x无解；
当x＞2时，（x+2）+（x-2）=5，解得x=2.5，所以E点坐标为（2.5，0）；
②如果点E在y轴上，设E点坐标为（0，y）．
∵AC+BC=5，
∴$\sqrt{{2}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{2}^{2}+{y}^{2}}$=5，
∴$\sqrt{{2}^{2}+{y}^{2}}$=2.5，
两边平方，得4+y²=6.25，
解得y=±1.5．
经经验，y=±1.5都是原方程的根，
所以E点坐标为（0，1.5），（0，-1.5）；
综上所述，点E在x轴上，坐标为（-2.5，0），（2.5，0）；
（3）∵AB=4，
∴点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况：
①当m＜4时，A，B的“m和点”没有；
②当m=4时，A，B的“m和点”有无数个；
③当m＞4时，A，B的“m和点”有4个；
所以可得点A，B的“m和点”有且只有4个，m的取值范围是m＞4；
故答案为：（2）（-2.5，0），（2.5，0）；（3）m＞4．

点评 本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，等边三角形的定义，同时考查学生的阅读理解能力和知识的迁移能力．正确理解A，B的“m和点”的定义是解题的前提，运用方程思想、分类讨论是解题的关键．