Question

13．若二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=-1，图象经过点（1，0），有下列结论：①abc＜0；②2a-b=0；③a+b+c＞0；④b²＞5ac，则以上结论一定正确的个数是2．

Answer 1

分析 ①根据题意可知，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴为直线x=-1，b＜0，据此对①作出判断；
②根据对称轴为直线x=-1，即可对②作出判断；
③根据二次函数图象与x轴另一个交点为（1，0），坐标代入解析式，即可对③作出判断；
④根据二次函数图象与x轴有两个交点，即可对④作出判断．

解答 解：①∵二次函数图象与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=-1，
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①不正确；
②∵b=2a，
∴2a-b=0，②正确；
③图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，③不正确；
④图象与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
∵ac＜0，
∴b²＞5ac，④正确，
故答案为：2．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．