Question

8．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质结合平行四边形的判定于性质得出AM=CN，进而得出Rt△ABM≌Rt△CDN；
（2）利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AFN（ASA），进而得出四边形AMCN是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC，
∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AM=CN，
在Rt△ABM和Rt△CDN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△CDN（HL）；

（2）解：当AB=AF时，四边形AMCN是菱形，
理由：∵四边形ABCD、AECF是矩形，
∴∠B=∠BAD=∠EAF=∠F=90°，
∴∠BAD-∠NAM=∠EAF-∠NAM，即∠BAM=∠FAN，
在△ABM和△AFN中∠BAM=∠FAN，AB=AF，∠B=∠F
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠FAN}\\{AB=AF}\\{∠B=∠F}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN，
由（1）知四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定与性质是解题关键．