如图.已知抛物线与y轴交于点C(0.4).与x轴交于A(x1.0).B(x2.0).其中x1.x2为方程x2-2x-8=0的两个根．(1)求该抛物线的解析式,(2)点Q是线段AB上的动点.过点Q作QE∥AC.交BC于点E.连结CQ.设Q(x.0)△CQE的面积为y.求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值,.问:在直线AC上.是否存在点F.使得△OMF是等腰三角形?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁，x₂为方程x²-2x-8=0的两个根．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，设Q（x，0）△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为（2，0），问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）首先利用方程求出图象与x轴交点坐标，进而将C点坐标代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于点H，可得EH∥CO，根据QE∥AC，可得出比例关系，代入求出EH的长度，求出S_△CQE，得出关系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系数法求出AC的解析式，设F（x，-x+4），表示出OM、MF、OF的长度，要使△OMF是等腰三角形有三种情况：①OF=FM时，②OM=OF=2时，③OM=MF时，分别求出点F的坐标．

解答解：（1）解方程x²-2x-8=0得：x₁=4，x₂=-2，
∴A（4，0）、B（-2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），
将C（0，4）代入，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）由Q（x，0），可得BQ=x+2，AQ=4-x，
作EH⊥AB于点H，
∵EH∥CO，
∴$\frac{EH}{CO}$=$\frac{BE}{BC}$，
又∵QE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{EH}{CO}$=$\frac{BQ}{BA}$，
即$\frac{EH}{4}$=$\frac{x+2}{6}$，所以EF=$\frac{2}{3}$（x+2），
∵S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ=$\frac{1}{2}$（x+2）×4-$\frac{1}{2}$（x+2）×$\frac{2}{3}$（x+2），
即y关于x的函数关系式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x-1）²+3（-2＜x＜4），
∴△CQE的面积的最大值为3；

（3）存在．理由如下：
设AC的解析式为：y=kx+b，
∵AC过A（4，0）和C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ b=4\end{array}\right.$，
则AC的解析式为：y=-x+4，
∵F在AC上，设F（x，-x+4），
∴OF=$\sqrt{{x}^{2}+（-x+4）^{2}}$，MF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（-x+4）^{2}}$，OM=2，
若△OMF是等腰三角形可能有三种情况：
①OF=FM时，F的横坐标应为1，F（1，3）…（11分）
②OM=OF=2时，$\sqrt{{x}^{2}+（-x+4）^{2}}$=2，
化简得：x²-4x+6=0
∵△=-8＜0
∴这种情况不存在；
③OM=MF=2$\sqrt{（x-2）^{2}+（-x+4）^{2}}$=2，
化简得：x²-6x+8=0
解得：x₁=2，x₂=4（舍去）
∴F（2，2），
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F（1，3）或（2，2）．

点评本题考查了二次函数的综合应用，涉及了解二元一次方程、待定系数法求函数解析式、比例的性质、等腰三角形的判定和性质以及球求二次函数最值等知识点，解答第（3）问时，一定要注意分情况讨论等腰三角形的腰长，以免漏解，本题综合性较强，难度较大．

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B．

（-4，1）

C．

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D．

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