Question

10．如图，矩形ABCD中，F为CD边上一点，AF=AB，BE⊥AF，EH⊥CD垂足分别为点E、H．
（1）求证：△ADF≌△BEA；
（2）若AD：AB=3：4，EF=3，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠D=90°=∠AEB，AB∥DC，得出∠DFA=∠EAB，由AAS即可证明△ADF≌△BEA；
（2）先证明△EHF∽△ADF，得出对应边成比例，即可求出EH．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB∥DC，
∴∠DFA=∠EAB，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
在△ADF和△BEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AEB}&{\;}\\{∠DFA=∠EAB}&{\;}\\{AF=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BEA（AAS）；
（2）解：∵EH⊥CD，∠D=90°，
∴AD∥EH，
∴△EHF∽△ADF，
∴$\frac{EH}{EF}$=$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴EH=$\frac{3}{4}$EF=$\frac{3}{4}$×3=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．