Question

【题目】如图，在ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E．过点E作EF∥AB，交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．

（1）求证：BF是⊙A的切线；

（2）填空：

①当四边形ADFE是周长为20的菱形时，BF＝　 　；

②当＝　 　时，四边形ACBF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①5；②

【解析】

（1）证明△ABC≌△ABF（SAS），则∠AFB＝∠ACB＝90°，即可求解；

（2）①当四边形ADFE是周长为20的菱形时，证明△ADE为等边三角形，则BF＝AFtan∠FAB＝5；

②当四边形ACBF是正方形，则AE＝AC＝BC，在等腰直角△ABC中，则AB＝AC＝AE，即可求解．

解：（1）∵EF∥AB，

∴∠CAB＝∠CEF，∠FAB＝∠AFE，

∵BE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴∠CAB＝∠FAB，

而AC＝AF，AB＝AB，

∴△ABC≌△ABF（SAS），

∴∠AFB＝∠ACB＝90°，

∴BF是⊙A的切线；

（2）①当四边形ADFE是周长为20的菱形时，

则AE∥FD，且菱形边长为5，

∴∠EFA＝∠DFA＝∠FAB＝∠ADF，

∴△ADE为等边三角形，

∴∠FAB＝60°，

在Rt△FAB中，BF＝AFtan∠FAB＝5，

故答案为：5；

②∵四边形ACBF是正方形，

∴AC＝BC，则AE＝AC，

∴AE＝AC＝BC，

在等腰直角△ABC中，

则AB＝AC＝AE，

故，

故答案为：．