Question

【题目】如图，是半圆的直径，．射线为半圆的切线．在上取一点，连接交半圆于点，连接．过点作的垂线，垂足为点，与相交于点．过点作半圆的切线，切点为，与相交于点．

（1）求证：∽；

（2）当与的面积相等时，求的长；

（3）求证：当在上移动时（点除外），点始终是线段的中点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BQ＝1；（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；
（2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．

解：（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，即：AC⊥BC，

又OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴∠BAC＝∠FOB，

∵BN是半圆的切线，

∴∠BCA＝∠FBO＝90°，

∴△ABC∽△OFB．

（2）连接OP，

由△ACB∽△OBF得，∠OFB＝∠DBA，∠BCA＝∠FBO＝90°，

∵AM、BN是⊙O的切线，

∴∠DAB＝∠OBF＝90°，

∴△ABD∽△BFO，

∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，

∴AD＝OB＝1，

∵DP切圆O，DA切圆O，

∴DP＝DA，

∵△ABD≌△BFO，

∴DA＝BO＝PO＝DP，

又∵∠DAO＝∠DPO＝90°，

∴四边形AOPD是正方形，

∴DQ∥AB，

∴四边形ABQD是矩形，

∴BQ＝AD＝1；

（3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO，

∴＝，

∴BF＝＝＝，

∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，

∴AD＝DP，QB＝QP，

过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，

DQ2＝QK2+DK2，

∴（AD+BQ）2＝（AD﹣BQ）2+22．

∴BQ＝，

∴BF＝2BQ，

∴Q为BF的中点．