Question

如图，在矩形ABCD中，BC沿EF对折，与AD重合，P是BC边上动点，DP与EF交于点G．
（1）若AB=4，AD=6，∠EPD=90°，求S_△EPD的值；
（2）若∠PED=90°时，求证：EP²=2BP•EG；
（3）在（2）的条件下，若S_△EPD=

10

27

S_梯形EBCD时，求tan∠PEB的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）证明△BEP∽△CPD，列出比例式求出BP的长度，进而求出CP的长度，即可解决问题．
（2）证明△BEP∽△EDP，进而证明DP=2EG，列出比例式即可解决问题．
（3）设AD=λAE，由△ADE∽△EDP，列出比例式求出λ即可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°；而∠EPD=90°，
∴∠EPB+∠BEP=∠EPB+∠DPC，
∴∠BEP=∠DPC，而∠B=∠C，
∴△BEP∽△CPD，
∴BE：PC=BP：DC①；
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=4，BC=AD=6；
由题意得：BE=AE=2；设BP=λ，
则CP=6-λ；将有关线段代入①得：
λ²-6λ+8=0，解得：λ=2或4；
若λ=2，则PC=4，设△BEP、△PCD，
梯形BCDE的面积分别为α、β、γ；
则α=

1

2

×2×2=2，β=

1

2

×4×4=8，
γ=

(2+4)×6

2

=18，
∴S_△EPD的值=18-2-8=8；
若λ=4，则PC=2；
运用于上述类似的方法，
同理可求S_△EPD的值=10．
∴S_△EPD的值为8或10．
（2）由题意得：∠BEF=∠PED=90°，
∴∠BEP=∠DEF；
∵AD∥EF∥BC，且AE=BE，
∴PG=DG，
∴EG=DG，∠DEG=∠EDG，
∴∠EDP=∠BEP，
∴△BEP∽△EDP，
∴EP：BP=DP：EP，而DP=2EG，
∴EP²=2BP•EG．
（3）同（2）的方法，同理可证△ADE∽△EDP，
∴AD：DE=AE：EP，
∴EP=

AE•DE

AD

；
设AD=λAE，则DE=

λ2+1

AE，
故：EP=

λ2+1

λ

AE；
∴S△DEP=

1

2

DE•EP=

1

2

λ2+1

λ

•

λ2+1

AE²=2×

λ2+1

λ

；
而S_梯形DCBE=18，S_△EPD=

10

27

S_梯形EBCD，
∴2×

λ2+1

λ

=18×

10

27

，解得：λ=3或

1

3

（舍去），
∴tan∠PEB=tan∠ADE=

1

3

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．