如图.在平面直角坐标系中.点A.以OA为半径作半圆.点C是第一象限内圆周上一动点.连结AC.BC.并延长BC至点D.使CD=BC.过点D作x轴垂线.分别交x轴.直线AC于点E.F.点E为垂足.连结OF．(1)当∠BAC=30°时.求△ABC的面积,(2)当DE=8时.求线段EF的长,(3)在点C运动过程中.是否存在以点E.O.F为顶点的三角形与△ABC相似?若存在.请求出点E的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，点A（-5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD=BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF．
（1）当∠BAC=30°时，求△ABC的面积；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°角的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；
（2）连接AD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标．

解答：

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在RT△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，
∴BC=

AB=5，
∴AC=

AB2-BC2

，
∴S_△ABC=

AC•BC=

×5

×5=

（2）连接AD，
∵∠ACB=90°，CD=BC，
∴AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE=

AD2-DE2

102-82

=6，
∴BE=AB-AE=4，
∴DE=2BE，
∵∠DFC=∠DBE∠DFC=∠AFE，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴

=2，
∴EF=

AE=

×6=3；
（3）连接EC，设E（x，0），
当

的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；
①0°＜

的度数＜60°时，点E在O、B之间，∠EOF＞∠BAC=∠D，必须令∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，
∴

，
∵EC是RT△BDE斜边的中线，
∵CE=CB，
∴∠CEN=∠EBD，
∴∠EOF=∠CEB，
∴OF∥CE，
∴

2OF

∴

2OE

，即

5+x

5-x

，
解得x=

-15±5

，因为x＞0，
∴x

-15+5

，
②60°＜

的度数＜90°时，点E在O点的左侧，
若∠EOF=∠B，则OF∥BD，
∴OF=

BC=

BD，
∴

，即

-x

5-x

，解得x=-

，
若∠EOF=∠BAC，则x=-

，
综上，点E的坐标为（

-15+5

，0）、（-

，0）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解．

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