Question

如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点，求证：DM=ME．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，取AB、AC的中点，连接MP、DP，MQ、EQ，易证DP=MQ，MP=EQ和∠MPD=∠MQE，即可证明△DPM≌△MQE，即可解题．

解答：证明：如图，取AB、AC的中点，连接MP、DP，MQ、EQ，

∵M是BC中点，
∴PM、MQ都是△ABC的中位线，
∴PM∥AC，MQ∥AB，PM=

1

2

AC，MQ=

1

2

AB，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴DP=

1

2

AB，EQ=

1

2

AC，
∴DP=MQ，MP=EQ，
∵∠MPD=∠BPD+∠BPM=2∠BAD+∠BAC=2（90°-∠ABD）+∠BAC，
∠MQE=∠CQE+∠CQM=2∠CAE+∠BAC=2（90°-∠ACE）+∠BAC，
∴∠MPD=∠MQE，
在△DPM和△MQE中，

DP=MQ ∠MPD=∠MQE PM=QE

，
∴△DPM≌△MQE（SAS），
∴DM=ME．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DPM≌△MQE是解题的关键．