Question

如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α，将△AOC绕顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连结OD，
（1）当α=95°时，是判断△BOD的形状，并说明理由；
（2）若OC=1，OA=2，OB=

2

，求∠BOC的度数；
（3）当α等于多少度时，△BOD是等腰三角形？

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的判定,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）先根据旋转的性质得∠OCD=90°，CO=CD，∠CDB=∠COA=α，于是可判断△COD是等腰直角三角形，则∠COD=∠CDO=45°，所以∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD=80°，接着计算出∠BDO=∠CDB-∠CDO=50°，则可根据三角形内角和定理计算出∠DBO=180°-∠BDO-∠BOD=50°，即有∠DBO=∠BDO，于是可判断BOD为等腰三角形；
（2）由△COD是等腰直角三角形得到OD=

2

OC=

2

，则OB²+OD²=BD²，根据勾股定理的逆定理得到△BOD为等腰直角三角形，∠BOD=90°；
（3）先分别表示出∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD=175°-α，∠BDO=∠CDB-∠CDO=α-45°，再计算出∠OBD=180°-∠BDO-∠BOD=50°，然后分类讨论：当OB=OD时，则∠OBD=∠BDO，即α-45°=50°，解得α=95°；当DB=DO时，∠BOD=∠DBO，即175°-α=α-45°，解得α=110°．

解答：解：（1）△BOD为等腰三角形．理由如下：
∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，∠CDB=∠COA=α，
∴△COD是等腰直角三角形；
∴∠COD=∠CDO=45°，
∵∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD
=360°-140°-95°-45°
=80°，
而∠BDO=∠CDB-∠CDO=95°-45°=50°，
∴∠DBO=180°-∠BDO-∠BOD=50°，
∴∠DBO=∠BDO，
∴△BOD为等腰三角形；
（2）∵△COD是等腰直角三角形，
∴OD=

2

OC=

2

，
而BD=OA=2，OB=

2

，
∴OB²+OD²=BD²，
∴△BOD为等腰直角三角形，
∠BOD=90°；
（3）∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD=360°-140°-α-45°=175°-α，
∠BDO=∠CDB-∠CDO=α-45°，
∠OBD=180°-∠BDO-∠BOD=180°-α+45°-175°+α=50°，
当OB=OD时，∠OBD=∠BDO，即α-45°=50°，解得α=95°；
当DB=DO时，∠BOD=∠DBO，即175°-α=α-45°，解得α=110°，
即当α等于95°或110°时，△BOD是等腰三角形．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．